【超重要】1を聞いて10を知る数学の勉強法(抽象化演習)

 

次の(1)の問題の「解法」言えますか?

 

 

1つの事を知ることで

10のことを知る

 

理想の勉強法ですね

 

この方法は説明が難しいのですが、

がんばって説明しようと思います

 

これは特に理系教科で抜群の威力を発揮します

結論からいうと

 

 

抽象的に理解していく

 

そういう勉強法が理系教科(特に数学)ではベストです

 

抽象的という言葉もややわかりづらいですよね

IQが高い人は抽象化能力が高いのですが、

この方法でIQも上がります

 

抽象化とは簡単にいうと

 

リンゴ→果物→植物→生物→・・・

と大きなカテゴリで捉えなおすことを言います

 

数学の勉強ではこの「抽象化」がとても

強力な武器となり

 

1つの問題を理解したときの

数学力アップ

に目を見張る成果が得られるようになります

 

 

わかりやすくなるように

みなさんに質問してみます

 

 

以下の問題の(1)の「解法」を説明しなさい

と言われたらなんと答えますか

 

実際にしゃべって答えてみてください

 

 

 

多くの人は

 

まず求める式を y=a(x-2)²+1とおく

それにx=3、y=-1を代入して

-1=a+1となるので

a=-2

これを最初の式に代入して

y=-2(x-2)²+1

展開して整理すると

y=-2x²+8x-7

 

こんな風にいうのではないでしょうか

 

これも「解法」ですが、1を聞いて10を知る勉強法にはなっていません

 

私は数学の授業で最初に

解法の口頭テストから始めます

 

生徒が予習で解いてきた問題の「解法」をしゃべってもらうのです

以下の(1)の解法の正解です

 

 

頂点が与えられているので、標準形にして通る点を代入

 

 

これが私が正解とする「解法」です

 

 

 

自分で勉強している時

ある数学の問題を1問解く目的は

その問題が解けるようになる」

ことではありません

 

 

その問題と本質的に同じタイプの問題が解けるようになる」

 

これが本当の目的です

 

その目的のため

この問題を「解く」というのは

 

頂点がわかっているから、標準形に通る点の座標を代入

 

と答えるということです

(1)の問題に指定されている

頂点が(2,1)であることや、点(3,-1)を通るという

 

具体的

 

な数値は入試本番ででる可能性はほぼ0なので

意味がありません

 

また、それに付随する

 

四則計算や同類項の計算

因数分解や平方完成などの

 

具体的な基礎計算

 

もすでにパッパとできる人がやっても

無意味です

 

具体的な数値を代入して方程式を解く

 

という計算も

 

無意味

 

この無意味なことをノートにだらだらと

書いてしまうことは

 

成績UPに対して

 

害です

 

数学の偏差値を上げるために

「掛け算の九九をノートに書きまくる」

ということと本質的に変わりません

 

すでにできることを反復し

時間を無駄に浪費しています

 

具体的な基礎計算は

計算ドリルでやった方が効率が良いです

 

ドリルではIQは上がりません

 

こういったことを避けるために

 

 

抽象度を上げる

 

という考え方がとても大事です

コツは実際の数値や文字をできるだけ使わない

そのために抽象化しやすい「用語」を使う

 

ということです

 

用語化する過程=抽象度を上げる思考

 

です

 

そのためには以下のような「用語」の知識が必要です

 

標準形:放物線の頂点が(b,c)

y=a(x-b)²+c

 

一般形

y=ax²+bx+c

 

切片形:放物線のx切片が(α,0)と(β,0)

y=a(x-α)(x-β)

 

このような知識があれば

 

頂点がわかっているから、標準形に通る点の座標を代入

 

と答えることで答えまで出せることがわかります

 

「標準形に点を代入するとaについての方程式となり、・・・」

などは少しくどいかもしれません

y,x,aなどの文字も必要最小限にしたいです

 

このような習慣で勉強すると

問題を見た瞬間

「どんなタイプの問題か」

がわかるようになります

 

・軸がx=2で最小値が3の放物線が~

・x=3でx軸に接する放物線で~

・x=4のとき最大値―5をとる放物線がある。~

 

このような問題すべてが「頂点が与えられている」

という表現に集約できます

 

つまり、

 

様々な表現をされた

いくつかの問題について

 

頂点がわかっているから、標準形

 

という解法で対処できることに気付く

そのことで

 

いくつかの問題が

本質的には同じ問題

としてまとめ上げることができるのです

 

この(1)を解いただけで

そのタイプの問題が解けるようになっている

 

ということなのです

(1)と(4)と(5)は同じ問題

(3)と(4)も同じとみることもできる

 

結局この5問は3種類に分類できます

こうすることで、頭に入れる問題の

記憶量も削減できます

 

実際には数週間かけて特訓するスキルなので

この記事だけでは十分説明できませんが

その一端は感じてもらえるのではないでしょうか

 

ちなみにその他の問題の解法は

(2)切片形にしてy切片の座標を代入

(3)一般形に代入して連立

(4)同上、もしくは軸がX=0とわかるので標準形に通る2点を代入して連立

(5)標準形に通る点を代入(頂点は (1,0)とわかる)

 

(1)の解法が(4)や(5)と同じ

このような思考が大事です

 

以上のような勉強法のメリットは

簡単に言うと

「応用力」がつくということ

 

応用力=ある知識を抽象化して他に利用する

 

と考えるとわかりやすいです

 

その他にも色々この方法のメリットはあり

 

・全部「解く」のに(1)~(5)まで数十秒でおわる

・ノートがいらない

・書かなくてよいから疲れない

・書かないから速い

自然と記述に対応できる

(記述模試ではしゃべっていることを計算式の間に書くだけでよい)

・問題を見て解法を組み立てる習慣ができる

・まずは問題を見てタイプ分けするという力がつく

・IQが上がる

二次関数の決定問題は主に3パターンしかないということを知っているから怖くない

 

最後の項目は特に重要で

問題を見たとき

「自分の知っている知識のどれか」

の中に解法がある

 

という

「数学の問題の幅」を知っていることが極めて有用です

 

問題を見て解法を考えるときに

「〇〇のパターンのどれかから出題されるとわかってる」

こういう風に考えられるので、

数学の問題を解くのが怖くないのです

 

こういう勉強を毎日毎日続けると

IQがどんどん上がります

「受験数学は暗記教科」

 

間違いありませんが、

 

「解法を抽象的にストックする」スキルを前提とした

暗記教科だと思います

 

 

 

 

19 Replies to “【超重要】1を聞いて10を知る数学の勉強法(抽象化演習)”

  1. 抽象化演習、やってみようと思います。が、実行する上で、いくつか質問させてください。

    ①抽象化するための「用語」はどこで仕入れれば良いですか

    ②抽象化演習にオススメの参考書(あれば)はなんですか

    おそらく「解法を抽象的にストックする」ことこそが、解法暗記の真髄なんじゃないかと思います。

    数学もできるようになって、IQも上がって一石二鳥なので、どんどん実践していきたいです。

    1. ①については、主に教科書を利用します。教科書の読み方も記事にしているので参考にどうぞ。
      また、教室では用語の使い方や理解状況をマンツーマンでチェック、修正するのが授業です。抽象化の指導もそこで行います。
      つまり、口頭の解法説明を他者に評価してもらうことで成果が出やすいとも言えます。(ひとりでやってももちろん効果は十分です)
      もしそのような環境があれば、是非解法の口頭説明を聞いてもらったりしてください。
      友人としゃべりあってもよいでしょう。(実際私も高校時代、数学と英語と生物でそれぞれしゃべりあう友人がいました(笑))
      オンラインのマンツーマン授業という手段もありますので参考にリンクしておきます。

      ②数学ということで言えば、チャート式(白や黄色がよい)や基礎問精講が秀逸でおすすめです。
      解説が充実しているものがよいですね。

      最終的に「このテキストの例題〇〇の問題は〜という問題で、この問題のポイントは〜という部分に気づくこと、それは問題の〜に注目するとわかるんだ」
      などとすべての問題について、テキストを見なくても友人に自慢げに語れるようになってくると、成績は急上昇すると思います。
      テスト前など本番前に、実際に書いて解くと「スラスラ解ける自分」に自信がつきます。

      私は受験期、世界史の教科書をまる覚えして、「〇ページには〜のことが書かれていて、~の写真が載っている」といえるくらい暗記していました。
      しかし、勉強そのものは苦ではなくむしろ友人と楽しくやっていた、という記憶しかありあません。
      成長していく自分を、楽しむ感覚です。

      楽しい感覚が維持できるよう、やり方を工夫していくことがとても大事だと思います。

      冬休みも近いですね。勉強を楽しんで頑張ってください。

      1. またまた質問させてください(笑)

        僕の学校では、定期テストは3トライアル(4ステップのようなもの)から、学年末テスト等では、ニューアクションβ(チャートのようなもの)から問題が出題されます。

        また、それに伴って、数Ⅰ、数a合わせて120問くらいを2〜3周ノートに解いてくるという宿題が出ます。

        そこで、どうせならこのサイトにある数学の勉強法でやろうと思ったのですが、いかんせん書かなければならず、さらには、数回繰り返した状態で提出しなければならないので、すごーく効率が悪くて(笑)嫌気がさします。

        こういう、書いて何周もするときに効率よくやる方法があれば、教えていただきたいです。

        学生時代の同じような経験をされていれば、それも書いてくださると嬉しいです。

        あと、ネクステと英文読解入門基本はここだ!、数学I·aの基礎、標準問題精講を購入しました。

        読みにくい文章なってしまい恐縮ですが、回答してくださると嬉しいです。

        1. 私もそのような宿題の経験者です。
          学校では生徒の学習管理を一人の先生がたくさんの生徒に対し行います。
          なので、書いて提出してもらうくらいしかやりようがないのですね。
          そもそも効率の悪いやり方なので、効率よくはできません。そこはあきらめましょう。

          私は学生時代、そのような宿題はやりませんでした。もしくは1周目だけなぞなぞを解く感覚で楽しく解いて2周目以降は解答を思考停止で写していました。
          2周目以降は、ただの作業で殴り書きだったので先生にこっぴどく叱られました。

          テスト対策のために、自分で解けなかったものは自主的に別で反復(問題を見て解答を頭で再現)してましたけど。

          結果
          ・担当の先生に目をつけられて、無視される
          ・休日に訂正ノート(丁寧に書き直したノート)を持ってくるよう指示される
          ・その他いろいろ
          な問題が生じたのでおすすめできません。

          問題集も購入して、行動に移したのですね。とりあえずやってみる姿勢がとても良いと思います。

  2. 数学の問題をマスターしたいとき、
    1日にまとめて一冊ときすすめるのか、
    一章とか細切れに進めるのでしたら、
    どちらが効率よくやれると思いますか?
    (細切れにやる場合、他の科目も並行してやろうと思ってます。)

    復習などの観点も含めてお答えいただけると幸いです!

    1. 1章とかコマ切れがよいと思います。
      基本的には2時間あれば2周できる量が良いです。
      化学の理論分野の勉強法とほぼ同じです。
      青チャートでいうと20問〜30問くらいかと思います。
      とにかく苦も無く反復可能、続けられるということに尽きます。
      楽しいくらいに頑張れる量を意識してください。
      復習の観点は、その1章を1週間くらい繰り返す→1週間空けてまたやる→1か月空けてまたやる→数か月後にまたやる
      のように、最初の1週間でつけた知識にさらに上塗りしていくようなイメージです。
      大げさではなく、10周以上はやることになります。
      やってみると感じると思いますが、同じことを繰り返すというより繰り返すたびに成長や発見があると思います。
      楽しみながら頑張ってください。

  3. あと、医学部志望なのに世界史を選択したのはミスでしたか?
    日本史か世界史の方が点数が安定するかな…と思いましたが、量が多いです(笑)
    ちなみに今度高校生2年になります。
    勉強方法のアドバイスお願いします!

    1. 世界史選択は全然ミスではありません。
      むしろベターです。
      私も世界史を選択しましたが、教科書を中心に暗記することでどの年度のセンター試験でもむらなく満点が狙えるようになりました。
      確かに量は多いのですが、その分問題がひねられないので点数が安定します。
      世界史は単純暗記なので、本格的に始めるのはまだ先ですね。
      化学の暗記法も参考になると思います。
      今のうちに授業中にでも質問リストを作ってしまえば後々楽です。

      1. 早速の返信ありがとうございます!
        返信くるのかなと、机の下でちらちら気にしながら待ってました(笑)

        世界史、選択ミスじゃなくてよかったです。なるほど、暗記リストか…。ですが作成する前に全体像みたいなのをつかむ必要がありますよね?まだ暗記リストを作れないレベルな気がします(笑)

        ついこの間までは、教科書読んで一問一答をやろうかと最初は思いましたが、ものすごい効率が悪い気がしてなりません。
        一問一答を解く→わからなすぎる→教科書に戻って該当箇所を探し…みたいな)
        なにかいい方法があれば教えていただけませんか?

        なるほど、数学は苦痛です。
        一番嫌なのが復習ですし、書くのも面倒だし、飽きる作業です。なるべく負荷を軽くして効率よく進めたらできそうな気がしますね!

        ちなみに、1日目は1章目を読む、2日目は1章の解法を思い出し、さらに2日目は2章を追加、のように1日ごとに一章追加してったら投げ出したくなりそうな予感がしますよね…?
        私は割とむりやりなハードスケジュールを組んでやる気を失いがちな気がしました

        1. 世界史はまずは教科書を暗記することに集中するとよいです。
          教科書がやりにくいなら、もっと簡単にまとめてある参考書を購入するとよいです。
          とにかく1冊の本をちゃんと覚えてしまうことが大事です。
          1問1答はそのあとです。

          数学は1日ごとに章を追加するのはオーバーワークです。
          余裕をもった計画が大事です。
          1週間で1章を反復、次の1週間で次の1章を反復、のように数日間そのことしか考えないという環境が良いと思います。
          選択と集中です。

          1. 何度も質問にお答えいただきありがとうございます。

            やはり苦手意識があるほど、あまり手を広げるのは得策じゃなさそうですね!
            少しずつやろうと思います。もしくは、それほど苦手意識のない他の科目を追加するなど…

            教科書の暗記はどのように取り組まれてましたか?
            速読英単語の本文は何回もCDを聞いてシャドウイングして、音読しまくったらそらで暗唱できるようになりましたが…
            世界史教科書を同様に音読するとなると、量も違いますし気が遠くなりそうです(笑)

            どんな方法で覚えていたのか、ぜひお願いいたします!

          2. 高3の9月から教科書暗記はスタートしました。やったことは
            ①教科書を読む(流れがわかるくらいざっと)ページにして1~2ページでパラグラフで1つ〜2つ
            ②教科書の暗記すべきと思った部分(年号、国名、人物、地域名)にマーカーを引く
            ③教科書の年代や年号のそばに、同時期ほかの国や地域では何があったのかを思い出したり見直したりしてメモ
            ④②で引いたマーカー部の要素を利用してコピー用紙に流れがわかるようなフローチャートを作る。
            ⑤フローチャートには国名や年号などを実際には書かずに空白にし、(  )埋めの問題(質問リスト)として作成
            ⑥①~⑤を5セットくらいやる(教科書にして10ページ分くらいのフローチャート問題ができる)
            ⑦そうしてできたフローチャートを何度も反復して暗記する
            ⑧夕方と寝る前の2回暗記
            ⑨翌日も同じことをやるが、前日分の復習も入れる

            ①~⑨これを繰り返しました。
            もちろん忘却もあるので定期的に教科書を読み直したりもしました。

            教科書は必要なくなった友人から1冊もらい、マーカーなどでぐちゃぐちゃ書き込まれた教科書(家用)とまっさらな教科書(学校でのチェック用)を持っていました。

            学校ではまっさら教科書を眺めながら、マーカー部がどこだったか、年号に添えられた同時代の別地域での出来事を思い出したりしていました。

            11月頃になるとほとんど覚えられ、ニュースなどを見たときになぜその戦争が起こっているのかとか、なぜその国が参戦しているのかがわかるようになって感動したのを覚えています。

            センター直前には教科書の最初から最後までをドラマ?映画?仕立てで妄想して近代まで振り返っていました。
            これがほかの教科の勉強での休憩でした。

          3. す、すごいです。これは…私立専願の文系の人を軽く凌駕し、文系国立二次の論述も余裕でかけたんじゃ…?無駄なことは一切せずに、オーバーキルしてますね!素晴らしすぎます。

            一つ一つの作業に時間をかけず、効率よくやる必要性、大切さがよくわかってきました!真似してやってみようと思います!

            最後の質問ですが、
            ただ私は不器用なほうで、フローチャートに凝ったり時間をかけてしまいそうです。
            (理系なのに気がついたら、文系科目ばかりやってそうな予感)
            もしこれをやる上でコツがあれば最後にかいていただけないでしょうか?

            (覚えた後も暗記量が多いとメンテナンスもそれなりに必要になりそうで不安ですね。)

          4. 長くなります。

            医学部・難関大志望ならいつも頭に入れておくべき思想として、ミニマル(必要最低限)思想があげられます。
            例えば先ほどのやり方で注意したのは
            ①教科書を読むときは「覚えること」を排除し流れをつかむことに集中
            ②①と同時に流れの肝となった出来事にマーク。覚えようとはしない。どこで起こっているかその地方の景色や登場人物の性格などを勝手にイメージ。覚えようとはしない。ドラマや映画を楽しむときは、おぼえようとしたら楽しめませんから。
            このように、なにを「やらないか」を意識することが振り返れば大事でした。
            フローチャートを作るときも最初は→の種類を⇒とか⇔とか色々意味を持たせたりして「凝って」やろうとしましたが、すぐにその種類わけに頭を使って疲れ始めたので
            「フローチャートの図形にこだわる」ことを排除しました。
            目的が「( )うめ問題を作る」なので、体裁にこだわって疲れることは「害」だからです。

            どの教科のどのような勉強においても、その段階の目的が存在します。
            その目的に「必ず必要」なことだけやる。
            「やった方がいい」とか「やっても良い」は排除
            こうやって最短・最速を意識するとよいと思います。

            英単語でよくあるのが、単語カードを「作った方が良い」とか、映画を英語でみた「ほうがよい」とか
            1日10分は英語に「触れたほうが良い」などよく聞きます。

            でも、それがなくては覚えられないなのかを見極めることが大事です。
            こうやって、限界までミニマルにして勉強法に磨きをかけてください。
            「やった方がよい」ははっきり言って「やってはいけないのです」
            こういった話が漏れ聞こえるのは、すでにできるようになった先生方などが受験知識がある前提で余裕があるからできること。
            そんなこと受験生には、やっている時間がないのです。
            こんなこと言っても私も単語カードは作ってました。それは「何度やっても忘れてしまう単語・イディオム」のみのカード。
            ある方法でダメなものは、それのみ別な方法でやるなどの柔軟性も必要です。
            やり方を固定するのではなくいつも「もっと良いやり方があるはずだ」「今日は何が得られたか」「改善点はないだろうか」と考える。
            そうやって時間が経つにつれレベルアップが加速します。
            実は今でも(もう40歳ですが)去年の指導法と今年の指導法は違います。
            何歳になっても、受験が終わってもその繰り返しです。

            周りを見渡したり、思い返してみてください。
            黒板の板書をしたほうがよい。→教科書以上のこと、ほんとに書いてます?あとで見返すなら教科書の方がよいのでは?
            ノートはまとめた方が良い→参考書のまとめの方が優秀ですよね。
            ノートは丁寧に書いた方が良い→誰が得するの?チェックする先生が得するのでは?
            ・・・・こんなこと無限に書けそうです。逆にこんなことをやってばかりいるのが今の学校であり、受験生です。
            その学校のルール、意味あります?全国の受験生や浪人生と席をかけて競うんですよね。
            視野は常に日本全体です。

            その学校であなた一人だけが、ミニマルで必要な事のみに特化した勉強法を考えていたらどうなると思いますか?
            毎日毎日時間が経つにつれその差はとんでもないものになります。

            信じられないくらい周りと差がつきます。ワクワクしませんか。
            6か月後の自分が楽しみですよね。受験が来るのが待ち遠しくなります。
            直近のテスト成績なんて大した意味はありませんよね。だって「今からどんどんのびていく」のですから。
            私の高3 9月での世界史の成績はせいぜい3割程度。まったくもって1mmも気にしませんでした。
            数学だろうと化学だろうと同じです。毎日毎日改善、また改善なのですから悪くなりようがありません。
            考え抜きましょう。自己分析しましょう。

            楽しみながら日々自分の勉強を爆速でレベルアップさせ、全国1位とか目指しましょう。

          5. ありがとうございます。
            非常にためになります。先生レベルになっても考えに考え、日進月歩の日々だったんですね!
            いくつか教えていただいたことを元に、自分なりに推敲を重ねていい方法を見つけてみようと思います。もっといい方法が見つかりましたら、逆に私の方から報告します!

            いとこが慶應医に去年受かってるんで、絶対に負けたくないんですよ!
            もっと上を狙えるように、勉強しようと思います。ながながとお付き合いいただき、ありがとうございます!

  4. 数学はスマートに解け、とよく先生に言われましたが「抽象化する」という手順こそスマートなやり方なのかなと思いました。
    物理なんかにも有効になりそうですね!
    実際に問題を解く時、頭のなかで解法を出すことができれば、具体的な答えを出すための計算はしなくてもよいのでしょうか?

    1. 解法を理解する=問題をみる「目」をバージョンアップする という目的に特化しています。
      そのため、 計算する=答えを出す「手」 ももちろん鍛える必要はあります。
      もし、Yuzuさんが高校生であれば実際の計算は学校課題や学校指定の問題集を実際に紙に書いて解くことがその訓練になると思います。
      そのため、学校の授業や宿題を自分の解法理解の「腕試し」みたいに捉えて楽しむとよいと思います。
      実際に解く時に意識したいのはスピードです。クイズやなぞなぞの早押し競争とか楽しいですよね。
      私も学生時代はそんなイメージで宿題や課題テキストを利用して遊んでました。
      スラスラ解けないときは、悔しいのでスラスラ解くにはどんな計算の工夫かできたかなど考えます。
      その後、その問題を初めて見たつもりになってわざと忘れて解きなおし。
      スラスラ解けて満足して寝てました。
      友人と競って、「どんな捉え方で」考えたかとか他の視点はないだろうかとか話して楽しんでましたね。

      1. 素早い返信ありがとうございます!
        とりあえず教科書傍用問題集を解いたが、模試では全く対応できない、ということがよくあり数学に苦手意識をもっていましたが、問題を見る目を鍛えればちゃんと戦うことができそうです!そのためのトレーニングだと思えば単調な計算問題へのモチベーションもでてきました。まずは教科書を確認しつつ、基礎問題精巧を何度も読むことから始めてみます!

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